Question

如圖，已知A、B（-1，n）是一次函數，y=kx+b的圖象與反比例函數y=

m

x

的圖象的兩個交點，且第一象限內的點A的橫坐標是它縱坐標的2倍，OA=

5

（1）求點A的坐標；
（2）求反比例函數與一次函數的解析式；
（3）求△AOB的面積；
（4）求方程kx+b-

m

x

=0的解（直接寫出答案）；
（5）求不等式kx+b-

m

x

＞0的解集（請直接寫出答案）．

Answer 1

分析：（1）首先根據A點橫、縱坐標之間的關系，設出點A的坐標，利用OA的長和勾股定理來確定點A的坐標．
（2）將點A坐標代入反比例函數的解析式中，即可求得m的值，從而確定反比例函數解析式，進而可得B點的坐標，然后用待定系數法求出一次函數的解析式即可．
（3）知道了直線AB的解析式，可求得直線AB與x軸的交點（設為C）坐標，以OC為底，A、B縱坐標差的絕對值為高，可求得△AOB的面積．
（4）觀察所求方程，實際求的是兩個函數值相等時，x的取值，即兩個函數圖象交點的橫坐標，在上面的解題過程中，已經求得了A、B的坐標，即可得解．
（5）此題求的是當一次函數的函數值大于反比例函數值時，x的取值范圍，可結合兩個函數的圖象以及交點A、B的坐標來解答．

解答：解：（1）由題意，設A（2x，x），（x＞0）則有：
（2x）²+x²=5，解得x=1（負值舍去），
故A（2，1）．

（2）由于點A位于反比例函數的圖象上，則有：
m=2×1=2，即y=

2

x

；
∴B（-1，-2）；
設直線AB的解析式為：y=kx+b，則有：

-k+b=-2 2k+b=1

，解得

k=1 b=-1

；
∴y=x-1；
綜上可知：反比例函數的解析式為：y=

2

x

；一次函數的解析式為：y=x-1．

（3）設直線AB與x軸的交點為C，則C（1，0）；
∴S_△AOB=

1

2

OC•|y_A-y_B|=

1

2

×1×3=1.5；
即△AOB的面積為1.5平方單位．

（4）由（1）（2）知：兩個函數的交點坐標為：A（2，1），B（-1，-2）；
∴方程kx+b-

m

x

=0的解為：x₁=2，x₂=-1．

（5）由圖知：當-1＜x＜0或x＞2時，一次函數的圖象在反比例函數圖象的上方；
故不等式kx+b-

m

x

＞0的解集為：-1＜x＜0或x＞2．

點評：此題主要考查了函數解析式的確定，勾股定理，圖形面積的求法以及函數與方程、不等式之間的聯系，難度適中．