Question

如圖，AB為⊙O直徑，D為

BC

的中點，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
（1）求證：OD⊥DE；
（2）已知DF=3，AE=6，求AD長．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理和圓的半徑相等即可證明∠ODE=90°，即OD⊥DE；
（2）由（1）可知AD為∠EAB的角平分線，利用角平分線的性質：到角的兩邊距離相等和勾股定理即可求出AD的長．

解答：（1）證明：∵D為

BC

的中點，
∴∠1=∠2，
∵OD=OA，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵DE⊥AC于E，
∴∠1+∠EDA=90°，
∴∠3+∠EDA=90°，
∴OD⊥DE；

（2）解：由（1）知∠1=∠2，
又∵DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．
∴DE=DF=3，
∵AE=6，
∴在Rt△AED中，AD=

AE2+DE2

=

45

=3

5

．

點評：本題考查了圓周角定理：在同圓和等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．也考查了角平分線的性質以及勾股定理的運用．