Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，O為BC的中點，AC與半圓O相切于點D．

（1）求證：AB是半圓O所在圓的切線；
（2）若cos∠ABC= ，AB=12，求半圓O所在圓的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1

，

作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∵AB=AC，O為BC的中點，

∴∠CAO=∠BAO．

∵OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，

∴OD=OE，

∵AB經過圓O半徑的外端，

∴AB是半圓O所在圓的切線；

（2）解：cos∠ABC= ，AB=12，得

OB=8．

由勾股定理，得

AO= =4 ．

由三角形的面積，得

S△AOB= ABOE= OBAO，

OE= = ，

半圓O所在圓的半徑是

【解析】本題考查了切線的判定與性質，利用切線的判定是解題關鍵，利用面積相等得出關于OE的長是解題關鍵．（1）根據等腰三角形的性質，可得OA，根據角平分線的性質，可得OE，根據切線的判定，可得答案；（2）根據余弦，可得OB的長，根據勾股定理，可得OA的長，根據三角形的面積，可得OE的長．