Question

如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，已知A（2，0）、C（1，3），將△OAC繞AC的中點E旋轉180°，點O落到點B的位置，拋物線y=ax²-2x經過點A，點D是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）判斷點B是否在拋物線上；
（3）若點P是x軸上A點左邊的一個動點，當以P、A、D為頂點的三角形與△OAB相似時，求出點P的坐標；
（4）若點M是y軸上的一個動點，要使△MAD的周長最小，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

解：（1）將A（2，0）代入y=ax²-2x得，
4a-4=0，
解得a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x；

（2）由旋轉知，四邊形OABC是平行四邊形，
∴BC∥OA，BC=AO，
∵A（2，0）、C（1，3），
∴x_B=1+2=3，y_B=y_C=3，
∴B（3，3），
將B（3，3）代入y=x²-2x得，×3²-2×3=3，
∴點B在拋物線上；

（3）過點B作BE⊥x軸于E，過點D作DF⊥x軸于F，
由y=x²-2x=（x-1）²-得頂點D（1，-），
∵B（3，3），
∴在Rt△BOE和Rt△DAF中，tan∠BOE===，
tan∠DAF===，
∴∠BOE=∠DAF=60°，
∵OA=2，OB==6，
AD==2，
∴△APD和△OAB相似分如下兩種情況：
①APD=∠OAB時△APD和△OAB相似，
∴=，
即=，
解得AP=，
∴OP=OA-AP=2-=，
∴點P的坐標為（，0）；
②∠APD=∠OBA時△APD和△OBA相似，
∴=，
即=，
解得AP=6，
∴OP=AP-OA=6-2=4，
∴點P的坐標為（-4，0），
綜上所述，點P（，0）或（-4，0）；

（4）點A（2，0）關于y軸的對稱點A′坐標為（-2，0），
根據軸對稱確定最短路線，直線A′D與y軸的交點即為使△MAD的周長最小的點M的位置，
設直線A′D的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線A′D的解析式為y=-x-，
x=0時，y=-，
∴點M的坐標為（0，-）．
分析：（1）把點A的坐標代入拋物線解析式求出a的值，即可得解；
（2）先判斷出四邊形OABC是平行四邊形，然后求出BC∥OA，BC=AO，再根據點A、C的坐標求出點B的橫坐標與縱坐標，然后把點B的坐標代入拋物線進行驗證即可；
（3）過點B作BE⊥x軸于E，過點D作DF⊥x軸于F，根據拋物線解析式求出點D的坐標，然后解直角三角形求出∠BOE=∠DAF=60°，然后求出OA、AD、AB，再分①∠APD=∠OAB時△APD和△OAB相似，②∠APD=∠OBA時△APD和△OBA相似，分別利用相似三角形對應邊成比例列式求出AP的長，再求出OP，然后寫出點P的坐標即可；
（4）根據軸對稱確定最短路線問題，確定出點A關于y軸的對稱點A′的坐標，然后求出直線A′D與y軸的交點即為所求的點M．
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了待定系數法求二次函數解析式，旋轉的性質，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，拋物線上點的坐標特征，相似三角形的性質，以及利用軸對稱確定最短路線問題，（3）分情況討論是難點．