Question

如圖，正方形ABCD中，E是CD的中點，EF⊥AE．
（1）求證：△CEF∽△DAE；
（2）若FC=3，求正方形ABCD的邊長；
（3）求證：EF平分∠AFC．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AED+∠CEF=90°，
∴∠DAE=∠CEF，
∴△CEF∽△DAE；

（2）解：∵△CEF∽△DAE，
∴，
∵E是CD的中點，
∴DE=EC=CD=AD，
∴DE=2FC=2×3=6，
∴CD=2DE=12；

（3）∵△CEF∽△DAE；
∴，∠AED=∠EFC，
∵DE=EC，
∴，
即，
∵∠D=∠AEF=90°，
∴△ADE∽△AEF，
∴∠AED=∠AFE，
∴∠AFE=∠EFC，
即EF平分∠AFC．
分析：（1）由正方形ABCD中，EF⊥AE，易證得∠D=∠C=90°，∠DAE=∠CEF，則可證得：△CEF∽△DAE；
（2）由△CEF∽△DAE，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（3）由△CEF∽△DAE，易得，繼而可證得△ADE∽△AEF，則可證得EF平分∠AFC．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質以及正方形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．