Question

【題目】如圖，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B、C向過A的直線作垂線，垂足分別為E、F．

（1）如圖①過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：EF=BE+CF；

（2）如圖②過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，求：FE長．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）7

【解析】

試題分析：（1）此題根據已知條件容易證明△BEA≌△AFC，然后利用對應邊相等就可以證明題目的結論；

（2）根據（1）知道△BEA≌△AFC仍然成立，再根據對應邊相等就可以求出EF了．

（1）證明：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠EBA+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠EBA，

在△ABE和△AFC中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，

∴△BEA≌△AFC．

∴EA=FC，BE=AF．

∴EF=EB+CF．

（2）解：∵BE⊥EA，CF⊥AF，

∴∠BAC=∠BEA=∠CFE=90°，

∴∠EAB+∠CAF=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠CAF=∠ABE，

在△ABE和△AFC中，

∠BEA=∠AFC=90°，∠EBA=∠CAF，AB=AC，

∴△BEA≌△AFC．

∴EA=FC=3，BE=AF=10．

∴EF=AF﹣CF=10﹣3=7．