Question

如圖，拋物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=（x-3）²+1交于點A（1，3），過點A作x軸的平行線，分別交兩條拋物線于點B，C．則以下結論：
①無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)；②a=1；③當x=0時，y₂-y₁=4；④2AB=3AC；
其中正確結論是（ ）
A．①②
B．②③
C．③④
D．①④

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)與y₂=（x-3）²+1的圖象在x軸上方即可得出y₂的取值范圍；把A（1，3）代入拋物線y₁=a（x+2）²-3即可得出a的值；由拋物線與y軸的交點求出，y₂-y₁的值；根據(jù)兩函數(shù)的解析式直接得出AB與AC的關系即可．
解答：解：①∵拋物線y₂=（x-3）²+1開口向上，頂點坐標在x軸的上方，∴無論x取何值，y₂的值總是正數(shù)，故本小題正確；
②把A（1，3）代入，拋物線y₁=a（x+2）²-3得，3=a（1+2）²-3，解得a=，故本小題錯誤；
③由兩函數(shù)圖象可知，拋物線y₁=a（x+2）²-3解析式為y₁=（x+2）²-3，當x=0時，y₁=（0+2）²-3=-，y₂=（0-3）²+1=，故y₂-y₁=--=-，故本小題錯誤；
④∵物線y₁=a（x+2）²-3與y₂=（x-3）²+1交于點A（1，3），
∴y₁的對稱軸為x=-2，y₂的對稱軸為x=3，
∴B（-5，3），C（5，3）
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC，故本小題正確．
故選D．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的性質，根據(jù)題意利用數(shù)形結合進行解答是解答此題的關鍵．