Question

如圖，由于水資源缺乏，B、C兩地不得不從黃河上的揚水站A引水，這就需要A、B、C之間鋪設地下輸水管道，有人設計了三種鋪設方案：如圖①②③，圖中實線表示管道鋪設線路，在圖②中，AD垂直BC于D；在圖③中，OA=OB=OC．為減少滲漏，節約水資源，并降低工程造價，鋪設線路應盡量縮短，已知△ABC恰好是一個邊長為a的等邊三角形，那么通過計算，你認為最好的鋪設方案是方案

 

．

Answer 1

分析：可以分別計算出圖①、②、③中的線路總長分別為2a、（

3

2

+1）a、

3

a，然后比較大小．

解答：解：在①中AB+AC=2a；
在②中，BC=a，DA=

3

2

a，
∴共（

3

2

+1）a；
在③中，
∵△ABC是等邊三角形，OA=OB=OC，
∴點O是△ABC的內心．
過點O作OD⊥AC，
∴∠OAD=30°，
則AD=

1

2

AC=

1

2

×a=

a

2

，
∴OA=

AD

cos∠OAD

=

a 2

3 2

=

3

3

a，
∴OA=OB=OC=

3

3

a，
∴共

3

a．
∵2a＞（

3

2

+1）a＞

3

a，
∴第③種方案線路最短．

點評：解此題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，把實際問題抽象到三角形中，利用三角函數進行解題．