Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=6，AD、BC是⊙O的兩條切線，AD=2，BC= ．
（1）求OD、OC的長；
（2）求證：△DOC∽△OBC；
（3）求證：CD是⊙O切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD、BC是⊙O的兩條切線，

∴∠OAD=∠OBC=90°，

在Rt△AOD與Rt△BOC中，OA=OB=3，AD=2，BC= ，

根據勾股定理得：OD= ，OC=

（2）證明：過D作DE⊥BC，可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°，

∴四邊形ABED為矩形，

∴BE=AD=2，DE=AB=6，EC=BC﹣BE= ，

在Rt△EDC中，根據勾股定理得：DC= ，

∵ ，

∴△DOC∽△OBC；

（3）證明：過O作OF⊥DC，交DC于點F，

∵△DOC∽△OBC，

∴∠BCO=∠FCO，

∵在△BCO和△FCO中，

，

∴△BCO≌△FCO（AAS），

∴OB=OF，

則CD是⊙O切線．

【解析】（1）由AB的長求出OA與OB的長，根據AD，BC為圓的切線，利用切線的性質得到三角形AOD與三角形BOC都為直角三角形，利用勾股定理即可求出OD與OC的長；（2）過D作DE垂直于BC，可得出BE=AD，DE=AB，在直角三角形DEC中，利用勾股定理求出CD的長，根據三邊對應成比例的三角形相似即可得證；（3）過O作OF垂直于CD，根據（2）中兩三角形相似，利用相似三角形的對應角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形OCF與三角形OCB全等，由全等三角形的對應邊相等得到OF=OB，即OF為圓的半徑，即可確定出CD為圓O的切線．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．