Question

幾何基礎問題
小明遇到這樣一道題：如圖，已知OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線，射線OP在∠AOC內部，若要使∠AOP與∠MON相等，則OP應滿足什么條件？聰明的小明想到用具體角度入手來解決這個問題．他假設∠AOB=70°，∠BOC=50°；不久他就解決了這個問題．
（1）在小明的假設下（∠AOB=70°，∠BOC=50°；）請你算一算∠MON是多少度？與∠AOC有什么關系？
（2）如果∠AOB、∠BOC的度數發生了變化，∠MON與∠AOC的關系將如何變化？
（3）若要使∠AOP與∠MON相等，則OP應滿足什么條件？

Answer 1

解：（1）∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC，
∴∠MOB+∠BON=（∠AOB+∠BOC），
∴∠MON=∠AOC，
∵∠AOB=70°，∠BOC=50°，
∴∠AOC=70°+50°=120°，∠MON=×120°=60°；
答：∠MON是60度，等于∠AOC的一半；
（2））∵OM，ON是∠AOB、∠BOC的平分線，
∴∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC，
∴∠MOB+∠BON=（∠AOB+∠BOC），
∴∠MON=∠AOC，
答：如果∠AOB、∠BOC的度數發生了變化，∠MON仍然等于∠AOC的一半；
（3）∵∠MON=∠AOC，
∴當OP平分∠AOC時，∠AOP與∠MON相等．
分析：（1）根據角平分線的定義得到∠MOB=∠AOB，∠BON=∠BOC，則∠MOB+∠BON=（∠AOB+∠BOC），于是∠MON=∠AOC，然后把∠AOB=70°，∠BOC=50°代入計算即可；
（2）由（1）可得到∠MON=∠AOC；
（3）由于∠MON=∠AOC，要使∠AOP與∠MON相等，則∠AOP=∠AOC，根據角平分線的定義可得OP平分∠AOC．
點評：本題考查了角的計算：利用幾何圖形計算幾個角的和或差．也考查了角平分線的定義．