Question

【題目】正方形ABCD的邊AB在直線MN上，O是AC、BD的交點，過O作OE⊥MN于點E．

（1）如圖1，線段AB與OE之間的數量關系為 ．（請直接填結論）

（2）保證點A始終在直線MN上，正方形ABCD繞點A旋轉（0＜＜90°），過點B作BF⊥MN于點F．

① 如圖2，當點O、B兩點均在直線MN右側時，試猜想線段AF、BF與OE之間存在怎樣的數量關系？請說明理由．

② 如圖3，當點O、B兩點分別在直線MN兩側時，此時①中結論是否依然成立呢？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請寫出變化后的結論并證明．

③ 當正方形ABCD繞點A旋轉到如圖4的位置時，線段AF、BF與OE之間的數量關系為 ．（請直接填結論）

Answer 1

【答案】（1）AB＝2OE;（2）①AF+BF=2OE, ②AF-BF=2OE, ③BF-AF=2OE,詳見解析.

【解析】

（1）過點B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據AF-EF=AE，整理即可得證；

（2）圖2，過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據AF-EF=AE，整理即可得證；

（3）圖3，作OG⊥BF于G，可得四邊形EFGO是矩形，根據矩形的對邊相等可得EF=GO，GF=EO，根據正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據同角的余角相等求出∠AOE=∠BOG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△BOG全等，根據全等三角形對應邊相等可得OG=OE，AE=BG，再根據BF-BG=GF，整理即可得證．

（1）AB＝2OE

（2）①AF+BF=2OE，

證明：過點B作BH⊥OE于點H∴∠BHE＝∠BHO=90°∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠BFE＝∠OEF＝90°∴四邊形EFBH為矩形∴BF＝EH，EF＝BH

∵四邊形ABCD為正方形∴OA＝OB，∠AOB＝90°∴∠AOE+∠HOB＝∠OBH+∠HOB=90°

∴∠AOE＝∠OBH∴△AEO≌△OHB（AAS）∴AE＝OH，OE＝BH

∴AF+BF＝AE+EF+BF＝OH+BH+EH＝OE+OE＝2OE．

②AF-BF=2OE，

證明：延長OE，過點B作BH⊥OE于點H

∴∠EHB＝90°

∵OE⊥MN，BF⊥MN

∴∠AEO＝∠HEF＝∠BFE＝90°

∴四邊形HBFE為矩形∴BF＝HE，EF＝BH

∵四邊形ABCD是正方形

∴OA＝OB，∠AOB＝90°∴∠AOE+∠BOH＝∠OBH+∠BOH

∴∠AOE＝∠OBH∴△AOE≌△OBH（AAS）

∴AE＝OH，OE＝BH∴AF－BF

＝AE+EF－HE＝OH－HE+OE＝OE+OE＝2OE

③BF-AF=2OE