Question

【題目】如圖所示，E，F，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點．

（1）探究1：連接對角線AC，BD由三角形中位線定理及平行四邊形的判定定理易得四邊形EFGH為 （不需要證明）；

（2）探究2：觀察猜想：

①當四邊形ABCD的對角線AC，BD滿足條件 時，四邊形EFGH是菱形；

②當四邊形ABCD的對角線AC，BD滿足條件 時，四邊形EFGH為矩形．

（3）探究3：當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）平行四邊形；（2）①AC=BD；②AC⊥BD；（3） 當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由見解析．

【解析】

（1）由中位線定理得出GH∥AC，GH=AC，同理EF∥AC，EF=AC，得出GH∥EF，GH=EF，從而可得出四邊形EFGH是平行四邊形；

（2）①由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，由AC=BD，推出一組鄰邊相等即可得出四邊形EFGH為菱形；
②由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，由AC⊥BD，證出∠EHG=90°，得出四邊形EFGH為矩形；
（3）由AC=BD得出四邊形EFGH為菱形；由AC⊥BD得出四邊形EFGH為矩形，即可得出四邊形EFGH為正方形．

解：（1）∵H、G，分別為AD、DC的中點，
∴HG∥AC，HG=AC，
同理EF∥AC，EF=AC，
∴HG∥EF且EF=HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形．
故答案為：平行四邊形；
（2）①AC=BD，理由如下：
由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，

又∵H，G分別為AD、DC的中點，∴HG=AC，
同理可知HE=BD，
又∵AC=BD，∴HE=HG．
∴平行四邊形EFGH為菱形，

故答案為：AC=BD；
②AC⊥BD，理由如下：

由（1）知四邊形EFGH是平行四邊形，
又∵H，G分別為AD、DC的中點，∴HG∥AC，同理可知HE∥BD，

∵AC⊥BD，∴HG⊥HE，∴∠EHG=90°，
∴四邊形EFGH為矩形，

故答案為：AC⊥BD；
（3）當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形．理由如下：
當AC=BD時，由（2）①得：四邊形EFGH為菱形；
當AC⊥BD時，由（2）②得：四邊形EFGH為矩形，
∴四邊形EFGH為正方形．