Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點C，點A（，1）在反比例函數y=的圖像上.

（1）求反比例函數y=的表達式；

（2）在x軸上是否存在一點P，使得SΔAOP=SΔAOB，若存在求點P的坐標；若不存在請說明理由.

（3）若將ΔBOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到ΔBDE，直接寫出點E的坐標，并判斷點E是否在該反比例函數的圖象上，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=；（2）P（-2，0）或（2，0）；（3）E（-，-1），點E在反比例函數y=的圖像上.

【解析】

（1）將點A（，1）代入y=，利用待定系數法即可求出反比例函數的表達式；

（2）先由射影定理求出BC=3，那么AB=4，計算求出S△AOB，進而求出S△AOP．設點P的坐標為（m，0），列出方程求解即可；

（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據旋轉的性質求出E點坐標為（-，-1），即可求解．

（1）∵點A（，1）在反比例函數y=的圖像上，

∴k=×1=，

∴y=；

（2）∵A（，1），

∴OC=，AC=1，

由△OAC∽△BOC得OC2=ACBC可得BC=3，

∴BA=4，

∴SΔAOB=××4=2，

∵SΔAOP=SΔAOB

∴SΔAOP=，

設P（m，0）

∴××1=，

∴=2，

∴m=-2或2，

∴P（-2，0）或（2，0） ；

（3）E（-，-1），點E在反比例函數y=的圖像上，

點E在該反比例函數的圖象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=2，AB=4，

∴sin∠ABO=，

∴∠ABO=30°，

∵將△BOA繞點B按逆時針方向旋轉60°得到△BDE，

∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，

∴BO=BD=2，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，

而BD-OC=，BC-DE=1，

∴E（-，-1），

∵-×（-1）=，

∴點E在該反比例函數的圖象上．