Question

（2009•河西區一模）如圖一，已知點P是邊長為a的等邊△ABC內任意一點，點P到三邊的距離PD、PE、PF的長分別記為h₁，h₂，h₃，則h₁，h₂，h₃之間有什么關系呢？
分析：連接PA、PB、PC，則△ABC被分割成三個三角形，根據：
S_△PAB+S_△PBC+S_△PAC=S_△ABC，即：，可得．
問題1：若點P是邊長為a的等邊△ABC外一點（如圖二所示位置），點P到三邊的距離PD、PE、PF的長分別記為h₁，h₂，h₃．探索h₁，h₂，h₃之間有什么關系呢？并證明你的結論；
問題2：如圖三，正方形ABCD的邊長為a，點P是BC邊上任意一點（可與B、C重合），B、C、D三點到射線AP的距離分別是h₁，h₂，h₃，設h₁+h₂+h₃=y，線段AP=x，求y與x的函數關系式，并求y的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）探索h₁，h₂，h₃之間的關系，可以根據等量關系S_{四邊形ABCP}=S_△APC+S_△ABC得出等式，解決問題；
（2）連接DP、AC，可知S_{四邊形ABCP}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP，∵S_△DCP=S_△ACP，即S_{四邊形ABCP}=S_△APB+S_△ADP+S_△ACP的等量關系，列出方程，得到y與x的函數關系式，按照自變量的取值范圍求出y的最大值與最小值．
解答：解：問題1：h₁+h₂-h₃=（2分）
理由：連接PA、PB、PC
∵PE⊥BC，PD⊥BA，且△ABC是邊長為a的等邊三角形
∴S_△PAB=，S_△PBC=
∴S_{四邊形ABCP}=S_△PAB+S_△PBC=+（2分）
又∵S_{四邊形ABCP}=S_△APC+S_△ABC=（1分）
∴+=即：h₁+h₂-h₃=；（1分）


問題2：連接DP、AC
易求：S_△APB+S_△ADP+S_△ACP=（2分）
易證：S_△DCP=S_△ACP（同底等高）（2分）
而S_{正方形ABCD}=S_△APB+S_△ADP+S_△DCP
∴
∴y=（a≤x≤a）（2分）
∵2a²＞0
∴y隨x的增大而減少
∴當x=a時，y_最小=a，當x=a時，y_最大=2a．（2分）
點評：此題是一個綜合性很強的題目，主要考查等邊三角形的性質、解反比例函數等知識．難度較大，有利于培養同學們鉆研和探索問題的精神．