Question

（9分）某市政府大力扶持大學生創業．李明在政府的扶持下投資銷售一種進價為每件20元的護眼臺燈．銷售過程中發現，每月銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關系可近似的看作一次函數：．

（1）設李明每月獲得利潤為w（元），當銷售單價定為多少元時，每月可獲得最大利

潤？

（2）如果李明想要每月獲得2000元的利潤，那么銷售單價應定為多少元？

（3）根據物價部門規定，這種護眼臺燈的銷售單價不得高于32元，如果李明想要每月獲得的利潤不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

（成本＝進價×銷售量）

 

Answer 1

見解析

解析:（1）由題意，得：w = (x－20)·y

=(x－20)·()

.

答：當銷售單價定為35元時，每月可獲得最大利潤．                   3分

（2）由題意，得：

解這個方程得：x₁ = 30，x₂ = 40．

答：李明想要每月獲得2000元的利潤，銷售單價應定為30元或40元.

                                                    ····· 6分

法二：∵， ∴拋物線開口向下. ∴當30≤x≤40時，w≥2000． ∵x≤32， ∴30≤x≤32時，w≥2000． ∵，， ∴y隨x的增大而減小. ∴當x = 32時，y最小＝180. ∵當進價一定時，銷售量越小， 成本越小， ∴（元）.

（3）法一：∵，

∴拋物線開口向下.

∴當30≤x≤40時，w≥2000．

∵x≤32，

∴當30≤x≤32時，w≥2000．                         

設成本為P（元），由題意，得：

∵，

∴P隨x的增大而減小.

∴當x = 32時，P最小＝3600.

 

答：想要每月獲得的利潤不低于2000元，每月的成本最少為3600元．

                                                    ····· 9分

26．【題文】（9分）我們把對稱中心重合，四邊分別平行的兩個正方形之間的部分叫“方形環”，易知方形環四周的寬度相等.

一條直線l與方形環的邊線有四個交點、、、．小明在探究線段與 的數量關系時，從點、向對邊作垂線段、，利用三角形全等、相似及銳角三角函數等相關知識解決了問題．請你參考小明的思路解答下列問題：

⑴當直線l與方形環的對邊相交時（如圖），直線l分別交、、、于、、、，小明發現與相等，請你幫他說明理由；

⑵當直線l與方形環的鄰邊相交時（如圖），l分別交、、、于、、、，l與的夾角為，你認為與還相等嗎？若     相等，說明理由；若不相等，求出的值（用含的三角函數表示）.

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】見解析

解析:⑴解:  在方形環中，

       ∵∥

       ∴

        ∴△≌△

∴　　　　　　　　               ·········· 3分

 ⑵解法一：∵

　　　∴∽          

      ∴

      ∵

      ∴ （或）

①當時，tan=1,則

 ②當時，

 則 （或）　　 

解法二：在方形環中，

      又∵

        ∴∥

        ∴

      在與中，

     

     

     即  （或）　　　

 ①當時，

 ②當時，

 則 （或）　　　　　………………9分

27．【題文】（9分）如圖，直線與兩坐標軸分別相交于A、B點，點M是線段AB上任意一點（A、B兩點除外），過M分別作MC⊥OA于點C，MD⊥OB于D．

    （1）當點M在AB上運動時，你認為四邊形OCMD的周長是否發生變化？并說明理由；

    （2）當點M運動到什么位置時，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？

（3）當四邊形OCMD為正方形時，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動，設平移的距離為，正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S．試求S與的函數關系式并畫出該函數的圖象．

【答案】見解析

解析:（1）設點M的橫坐標為x，則點M的縱坐標為－x+4（0<x<4，x>0，－x+4>0）；

           則：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；

            ∴C_{四邊形OCMD}＝2（MC+MD）＝2（－x+4+x）＝8

∴當點M在AB上運動時，四邊形OCMD的周長不發生變化，總是等于8；

…………3分

（2）根據題意得：S_{四邊形OCMD}＝MC·MD＝（－x+4）· x

＝－x²+4x＝－(x-2)²+4

∴四邊形OCMD的面積是關于點M的橫坐標x（0<x<4）的二次函數，并且當x＝2，即當點M運動到線段AB的中點時，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；

                                                             …………………6分

（3）如圖10（2），當時，；

如圖10（3），當時，；

∴S與的函數的圖象如下圖所示：

     ………………9分