Question

某外語學校在圣誕節要舉行匯報演出，需要準備一些圣誕帽，為了培養學生的動手能力，學校決定自己制作這些圣誕帽．如果圣誕帽（圓錐形狀）的規格是母線長42厘米，底面直徑為16厘米．
（1）求圣誕帽的側面展開圖（扇形）的圓心角的度數（精確到度）；
（2）已知A種規格的紙片能做3個圣誕帽，B種規格的紙片能做4個圣誕帽，匯報演出需要26個圣誕帽，寫出A種規格的紙片y張與B種規格的紙片x張之間的函數關系式及其x的最大值與最小值；若自己制作時，A、B兩種規格的紙片各買多少張時，才不會浪費紙張？
（3）現有一張邊長為79厘米的正方形紙片，它最多能制作幾個這種規格的圣誕帽（圣誕帽的粘接處忽略不計）．請在比例尺為1：15的正方形紙片上畫出圣誕帽的側面展開圖的裁剪草圖，并利用所學的數學知識說明其可行性．

Answer 1

解：（1）∵底面直徑為16厘米，
∴圓錐的底面周長為16πcm，
∵圣誕帽的側面展開圖是一個扇形，
∴扇形的弧長是16π，
設扇形是圓心角為n，=16π，
解得n≈69，
則扇形的圓心角是69°；

（2），由y≥0，得x的最大值是，最小值是0．
顯然，x、y必須取整數，才不會浪費紙張．
由x=1時，；x=2時，y=6；x=3時，；
x=4時，x=5時，y=2；x=6時，
故A、B兩種規格的紙片各買6張、2張或2張、5張時，才不會浪費紙張．
（3）正方形的面積為79×79=6241，圓錐的側面展開圖的面積為π×8×42≈1055，
∴可以截的扇形的個數為：6241÷1055≈5，但畫出草圖后可得只有4個．
裁剪草圖，如圖

設相鄰兩個扇形的圓弧相交于點P，則PD=PC，
過點P作DC的垂線PM交DC于M，
則CM=DC=×79=39.5，又CP=42，
∴，
∴∠MCP=20°＜（90°-69°），
又42+42＜79，所以這樣的裁剪草圖是可行的．
分析：（1）利用圓錐的弧長=圓錐的底面周長可得圓心角的度數；
（2）利用26個圣誕帽的個數列出相應的等量關系，可得y與x之間的函數關系式，然后取得整數解的最大值與最小值即可；
（3）算出正方形的面積及圓錐側面積，讓正方形的面積除以圓錐側面積得到的整數解即為圣誕帽的個數，讓扇形的頂點在正方形的四個頂點，扇形一邊在正方形的一邊即可；根據扇形的兩條半徑的和小于對角線的長，算出的∠MCP的度數和69°相加得90°即合適．
點評：用到的知識點為：圓錐的底面周長等于圓錐的側面展開圖的弧長；在較大的紙張上裁剪較小的圖形，應從實際出發思考．