Question

【題目】類比等腰三角形的定義，我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．

（1）如圖1，在四邊形ABCD中添加一個條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請寫出你添加的一個條件．

（2）問題探究

小紅提出了一個猜想：對角線互相平分且相等的“等鄰邊四邊形”是正方形．她的猜想正確嗎？請說明理由．

（3）如圖2，“等鄰邊四邊形”ABCD中，AB＝AD，∠BAD＋∠BCD＝90°，AC，BD為對角線，AC＝ AB．試探究線段BC，CD，BD之間的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）AB＝BC，（答案不唯一），理由見解析；（2）正確；理由見解析；（3）BC2＋CD2＝2BD2，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）利用“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可，

（2）利用矩形的判定和菱形的判定和“等鄰邊四邊形”的定義直接判斷即可，

（3）先判斷出△ACF∽△ABD，得到CF= BD，再求出∠CBF=90°，最后用勾股定理即可求解.

試題解析：（1）AB＝BC，（答案不唯一）

理由：∵四邊形ABCD是凸四邊形，且AB＝AC，

∴四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．

（2）正確；理由為：

∵四邊形的對角線互相平分且相等，

∴四邊形ABCD是矩形 ,

∵四邊形是“等鄰邊四邊形”，

∴這個四邊形有一組鄰邊相等，

∴四邊形ABCD是菱形 ,

∴對角線互相平分且相等的等鄰邊四邊形是正方形；

（3）BC2＋CD2＝2BD2，證明如下：

如圖，

∵AB＝AD，

∴以A為圓心，AC為半徑畫弧，再以B為圓心，CD為半徑畫弧，兩弧相交于點F

則可將△ADC線繞點A旋轉到△ABF，連接CF，

則△ABF≌△ADC，

∴∠ABF＝∠ADC，∠BAF＝∠DAC，AF＝AC，FB＝CD，

∴∠BAD＝∠CAF， ，

∴△ACF∽△ABD，

∴，

∵AC＝AB，∴CF＝BD，

∵∠BAD＋∠ADC＋∠BCD＋∠ABC＝360°，

∴∠ABC＋∠ADC＝360°－（∠BAD＋∠BCD）＝360°－90°＝270°,

∴∠ABC＋∠ABF＝270°，

∴∠CBF＝90°，

∴BC2＋FB2＝CF2＝(BD)2＝2BD2，

∴BC2＋CD2＝2BD2．