Question

已知AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，E是直線AB上一動點（不與點A、B、G重合），直線DE交⊙O于點F，直線CF交直線AB于點P.設⊙O的半徑為R.

（1）如圖1，當點E在直徑AB上時，試證明：OE·OP＝R².（提示：作直徑FQ交⊙O于Q，并連結DQ）

（2）當點E在AB（或BA）的延長線上時，以如圖2點E的位置為例，請你畫出符合題意的圖形，標注上字母，（1）中的結論是否成立？請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ

∵FQ是⊙O直徑

∴∠FDQ＝90° 

∴∠QFD＋∠Q＝90°  

∵CD⊥AB

∴∠P＋∠C＝90°

∵∠Q＝∠C

∴∠QFD＝∠P 

∵∠FOE＝∠POF

∴△FOE∽△POF

∴

∴OE·OP＝OF²＝R²；

（2）成立

【解析】

試題分析：（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ．先根據同角的余角相等得到∠QFD=∠P，再結合公共角即可證明△FOE∽△POF，然后根據相似三角形的性質即可得到結果；

（2）依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM．根據圓周角定理及等角的余角相等可得∠CFM=∠E，再結合公共角即可證明△FOE∽△POF，然后根據相似三角形的性質即可得到結果．

（1）連接FO并延長交⊙O于Q，連接DQ. 

∵FQ是⊙O直徑

∴∠FDQ＝90° 

∴∠QFD＋∠Q＝90°  

∵CD⊥AB

∴∠P＋∠C＝90°

∵∠Q＝∠C

∴∠QFD＝∠P 

∵∠FOE＝∠POF

∴△FOE∽△POF

∴

∴OE·OP＝OF²＝R²； 

（2）如圖，依題意畫出圖形，連接FO并延長交⊙O于M，連接CM

∵FM是⊙O直徑

∴∠FCM＝90°

∴∠M＋∠CFM＝90°

∵CD⊥AB

∴∠E＋∠D＝90°

∵∠M＝∠D

∴∠CFM＝∠E

∵∠POF＝∠FOE

∴△POF∽△FOE

∴

∴OE·OP＝OF²＝R².

考點：本題考查的是相似三角形的性質與判定、垂徑定理，圓周角定理

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握直徑所對的圓周角是直角；同角或等角的余角相等；同時熟記相似三角形的性質：相似三角形的對應邊成比例，同時注意對應字母寫在對應位置上.