Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為A（0，α），B（b，α），且α、b滿足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，現同時將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，連接AC，BD，AB．

（1）求點C，D的坐標及四邊形ABDC的面積S四邊形ABCD
（2）在y軸上是否存在一點M，連接MC，MD，使S△MCD=S四邊形ABDC？若存在這樣一點，求出點M的坐標，若不存在，試說明理由．
（3）點P是線段BD上的一個動點，連接PA，PO，當點P在BD上移動時（不與B，D重合） 的值是否發生變化，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵（a﹣2）2+|b﹣4|=0，

∴a=2，b=4，

∴A（0，2），B（4，2）．

∵將點A，B分別向下平移2個單位，再向左平移1個單位，分別得到點A，B的對應點C，D，

∴C（﹣1，0），D（3，0）．

∴S四邊形ABDC=AB×OA=4×2=8

（2）

解：在y軸上存在一點M，使S△MCD=S四邊形ABCD．設M坐標為（0，m）．

∵S△MCD=S四邊形ABDC，

∴ ×4|m|=8，

∴2|m|=8，

解得m=±4．

∴M（0，4）或（0，﹣4）

（3）

解：當點P在BD上移動時， =1不變，理由如下：

過點P作PE∥AB交OA于E．

∵CD由AB平移得到，則CD∥AB，

∴PE∥CD，

∴∠BAP=∠APE，∠DOP=∠OPE，

∴∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，

∴ =1．

【解析】（1）先由非負數性質求出a=2，b=4，再根據平移規律，得出點C，D的坐標，然后根據四邊形ABDC的面積=AB×OA即可求解；（2）存在．設M坐標為（0，m），根據S△PAB=S四邊形ABDC ， 列出方程求出m的值，即可確定M點坐標；（3）過P點作PE∥AB交OC與E點，根據平行線的性質得∠BAP+∠DOP=∠APE+∠OPE=∠APO，故比值為1．
【考點精析】本題主要考查了平行線的性質的相關知識點，需要掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補才能正確解答此題．