Question

（2013•溫州）如圖，AB為⊙O的直徑，點C在⊙O上，延長BC至點D，使DC=CB，延長DA與⊙O的另一個交點為E，連接AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的長．

Answer 1

分析：（1）由AB為⊙O的直徑，易證得AC⊥BD，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可證得AD=AB，即可得：∠B=∠D；
（2）首先設BC=x，則AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，可得方程：（x-2）²+x²=4²，解此方程即可求得CB的長，繼而求得CE的長．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC=CB，
∴AD=AB，
∴∠B=∠D；

（2）解：設BC=x，則AC=x-2，
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=4²，
解得：x₁=1+

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，x₂=1-

7

（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB，
∴CE=CB=1+

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．

點評：此題考查了圓周角定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．