Question

已知拋物線y=x²+mx-2m²（m≠0）．
（1）求證：該拋物線與x軸有兩個不同的交點；
（2）過點P（0，n）作y軸的垂線交該拋物線于點A和點B（點A在點P的左邊），是否存在實數m、n，使得AP=2PB？若存在，則求出m、n滿足的條件；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：△=m²-4×1×（-2m²）=9m²，
∵m≠0，∴△＞0，
∴該拋物線與x軸有兩個不同的交點；

（2）解：由題意易知：點A、B的坐標滿足方程：x²+mx-2m²=n，即x²+mx-（2m²+n）=0
由于方程有兩個不相等的實數根，
因此△＞0，即m²-4×1×[-（2m²+n）]＞0?9m²+4n＞0，①
由求根公式可知兩根為：，，
∴，
，
分兩種情況討論：
第一種：如圖1，點A在點P左邊，點B在點P的右邊
∵AP=2PB
∴AB=3PB
∴．②
∴m＞0．③
由②式可解得n=0．④
第二種：如圖2，點A、B都在點P左邊
∵AP=2PB
∴AB=PB
∴．⑤
∴m＞0．⑥
由⑤式可解得n=-m²．⑦
綜合①③④⑥⑦可知，滿足條件的點P存在，此時m、n應滿足條件：m＞0，n=0或n=-m²．
分析：（1）要證拋物線與x軸有兩個不同的交點，實際上就是一元二次方程x²+mx-2m²=0有兩個不相等的實數根，只要證出b²-4ac＞0即可；
（2）根據題意易知點A、B的坐標必須滿足的方程，根據根與系數的關系，可得AB與PB的關于m的關系式，根據AB的位置不同，分兩種情況討論，并解出m的值．
點評：命題立意：考查二次函數與一元二次方程的關系．此題綜合性強，難度較大，解決的關鍵是將二次函數問題轉化為一元二次方程問題，然后求解．