Question

如圖，正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，DE=CF，AF與BE相交于O，DG⊥AF，垂足為G。
（1）求證：AF⊥BE；
（2）試探究線段AO、BO、GO的長度之間的數量關系；
（3）若GO：CF=4：5，試確定E點的位置。

Answer 1

解：（1）證明：∵ABCD為正方形，且DE=CF，∴AE=DF，AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°。
∴△ABE≌△DAF（SAS）。∴∠ABE=∠DAF。
又∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠DAF+∠AEB=90°。
∴∠AOE=90°，即AF⊥BE。
（2）BO=AO+OG。理由如下：
由（1）的結論可知，∠ABE=∠DAF，∠AOB=∠DGA=90°，AB=AD，
∴△ABO≌△DAG（AAS）。∴BO=AG=AO+OG。
（3）過E點作EH⊥DG，垂足為H，

由矩形的性質，得EH=OG，
∵DE=CF，GO：CF=4：5，∴EH：ED=4：5。
∵AF⊥BE，AF⊥DG，∴OE∥DG，∴∠AEB=∠EDH。
∴△ABE∽△HED。∴AB：BE=EH：ED=4：5。
在Rt△ABE中，AE：AB=3：4，∴AE：AD=3：4，即AE=AD。
∴點E在AD上離點A的AD處。

解析