Question

如圖，四邊形ABCD是矩形，直線l垂直平分線段AC，垂足為O，直線l分別與線段AD、CB的延長線交于點E、F．與AB交于點M．
（1）求證：△ABC∽△AOM；
（2）試判定四邊形AFCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據垂直的定義，矩形的性質可知∠ABC=∠AOM=90°，再由公共角相等即可判定△ABC與△AOM相似；
（2）四邊形AFCE是菱形，先證明四邊形AFCM是平行四邊形，再根據對角線互相垂直平分的平行四邊形是菱形作出判斷．
解答：（1）證明：
∵直線l垂直平分線段AC，
∴∠AOM=∠AOE=90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵∠MAO=∠CAB，
∴△ABC∽△AOM；
（2）四邊形AFCE是菱形，
理由如下：由（1）知△ABC∽△FOA，
∴∠ACB=∠FAC，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠EAC，
∴∠FAC=∠EAC，
在△AOF與△AOE中，
，
∴△AOF≌△AOE，
∴AE=AF，FO=EO．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴四邊形AFCE是菱形．
點評：考查了線段垂直平分線的性質，相似三角形的判定，矩形的性質，菱形的判定，綜合性較強，有一定的難度．