Question

已知：拋物線y=-x²+（2m+2）x-（m²+4m-3）
（1）拋物線與x軸有兩個交點，求m的取值范圍；
（2）當m為不小于零的整數，且拋物線與x軸的兩個交點是整數點時，求此拋物線的解析式；
（3）若設（2）中的拋物線的頂點為A，與x軸的兩個交點中右側的交點為B，M為y軸上一點，且MA=MB，求M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線與x軸有兩個交點，可令函數值y=0，則所得方程的△＞0，由此可求出m的取值范圍；
（2）已知m為不小于零的整數，結合（1）的m的取值范圍，可求出m的值，即可確定拋物線的解析式，然后根據“拋物線與x軸的兩個交點是整數點”，將不合題意的拋物線解析式舍去；
（3）根據（2）的拋物線可求出A點的坐標，設出M點坐標，然后表示出MA、MB的長，根據MA=MB，即可求出M的坐標．
解答：解：（1）∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=b²-4ac＞0
即：（2m+2）²-4×（-1）×[-（m²+4m-3）]＞0
解得，m＜2（2分）

（2）∵m為不小于零的整數，
∴m=0或m=1（3分）
當m=0時，y=-x²+2x+3與x軸的交點是（-1，0），（3，0）；（4分）
當m=1時，y=-x²+4x-2與x軸的交點不是整數點，舍去；（5分）
綜上所述這個二次函數的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）設M（0，y），連接MA，MB，
過點A作AC⊥y軸，垂足為C；

∵MA=MB
∴AC²+CM²=OM²+OB²
即：1+（4-y）²=y²+3²（6分）
解得，y=1（7分）
∴M（0，1）．（8分）
點評：此題考查了二次函數與一元二次方程的關系、根的判別式、二次函數解析式的確定、勾股定理等知識的綜合應用．