Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E為AB中點，EF∥DC交BC于點F，求EF的長．

Answer 1

分析：可過點D作DG⊥BC于點G，解直角三角形DGC，求出DG=AB的長，進一步求出BE，再解直角三角形BEF，再解這個三角形即可；或延長FE交DA的延長線于點G，證明四邊形DGFC是平行四邊形，再證明△AGE≌△BFE，說明AG=BF，最后解依據(jù)DG=FC得出的一元一次方程即可．

解答：解：解法一：如圖1，過點D作DG⊥BC于點G．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90度．
可得四邊形ABGD為矩形．
∴BG=AD=1，AB=DG．
∵BC=4，
∴GC=3．
∵∠DGC=90°，∠C=45°，
∴∠CDG=45度．
∴DG=GC=3．
∴AB=3．
又∵E為AB中點，
∴BE=

1

2

AB=

3

2

．
∵EF∥DC，
∴∠EFB=45度．
在△BEF中，∠B=90度．
∴EF=

BE

sin45°

=

3

2

2

．

解法二：如圖2，延長FE交DA的延長線于點G．
∵AD∥BC，EF∥DC，
∴四邊形GFCD為平行四邊形，∠G=∠1．
∴GD=FC．
∵EA=EB，∠2=∠3，
∴△GAE≌△FBE．
∴AG=BF．
∵AD=1，BC=4，
設(shè)AG=x，則BF=x，CF=4-x，GD=x+1．
∴x+1=4-x．
解得x=

3

2

．∵∠C=45°，
∴∠1=45度．
在△BEF中，∠B=90°，
∴EF=

BF

cos45°

=

3

2

2

．

點評：此題考查簡單圖形中的線段的求法，一可以通過特殊角的三角函數(shù)值及四邊形的有關(guān)知識及勾股定理求解；二可以通過特殊四邊形的性質(zhì)，借助全等三角形有關(guān)知識建立方程求解．