Question

如圖，已知一次函數y=kx+b的圖象與x軸相交于點A，與反比例函數的圖象相交于B（-1，5），C（，d）兩點．
（1）求k，b的值；
（2）設點P（m，n）是一次函數y=kx+b的圖象上的動點．
①當點P在線段AB（不與A，B重合）上運動時，過點P作x軸的平行線與函數的圖象相交于點D，求出△PAD面積的最大值．
②若在兩個實數m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數，直接寫出實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把B點坐標代入y=可確定反比例函數解析式為y=-，再把點C（，d）代入y=-可計算出d，然后利用待定系數法確定一次函數的解析式，即求出k、b的值；（2）先確定A點坐標為（，0），再用n表示P點坐標得到P（，n），由DP∥x軸得到D點坐標為（-，n），根據三角形面積公式得S_{△PAD的面積}=×（+）×n，配成頂點式得y=-（n-）²+，由于點P在線段AB（不與A，B重合）上運動，所以0＜n＜5，然后根據二次函數的最值問題得到△PAD的面積的最大值為；
（3）結合直線y=-2x+3進行討論：n=-2m+3，當m≤0，n≥3，實數m與n之間（不包括m和n）有多個整數；當m＞時，n≤0，則實數m與n之間（不包括m和n）有多個整數；當m=n即m=1時，實數m與n之間（不包括m和n）沒有整數；當1＜m≤時，0＜n＜1，m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數1；當0＜m＜1時，1＜n＜3，m與n之間（不包括m和n）有2個整數，由于m=，n=2，則當0＜m＜時，2＜n＜3，m與n之間（不包括m和n）還是有2個整數，但當≤m＜1時，1＜n≤2，m與n之間（不包括m和n）有且只有一個整數1，綜合得到≤m＜1或1＜m≤．
解答：解：（1）將點B（-1，5）代入y=，得c=-1×5=-5，
∴反比例函數解析式為y=-，
將點C（，d）代入y=-得d=-=-2，
∴C點坐標為（，-2）；
把B（-1，5）、C（，-2）代入y=kx+b得，解得；
（2）①令y=0，即-2x+3=0，解得x=，則A點坐標為（，0），
一次函數的解析式為y=-2x+3，點P（m，n）在直線y=-2x+3上，則m=，P點坐標表示為（，n），
∵DP∥x軸，且點D在y=-的圖象上，
∴y_D=y_P=n，x_D=-，即D點坐標為（-，n），
∴S_{△PAD的面積}=×（+）×n=-（n-）²+，
∴a=-，
∴S有最值，
又∵點P在線段AB（不與A，B重合）上運動，
∴-1＜m＜，0＜n＜5，
而拋物線的頂點坐標為（，），
∴當n=時，即P點坐標為（）時，△PAD的面積S最大，最大值為；
②實數m的取值范圍為≤m＜1或1＜m≤．
點評：本題考查了反比例函數綜合題：反比例函數與一次函數的交點坐標同時滿足兩函數的解析式；常用待定系數法求函數的解析式；運用二次函數的性質解決代數式的最值問題．