Question

已知如圖P是⊙O直徑AB延長線上的一點，割線PCD交⊙O于C、D兩點，弦DF⊥AB于點H，CF交AB于點E．
（l）求證：PA•PB=PO•PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半徑為2，求弦CF的長．

Answer 1

（1）證明：連接OD．
∵AB是⊙O的直徑，且DF⊥AB于D點H，
∴==．
∴∠AOD=∠DCF．
∴∠POD=∠PCE．
∵∠DPO=∠EPC，
∴△DPO∽△EPC．
∴．
即PO•PE=PD•PC．
又PD•PC=PA•PB，
∴PA•PB=PO•PE．

（2）解：由（1）知：
AB是弦DF的垂直平分線，
∴DE=EF．
∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，
∴∠DEA=∠FEA=45°．
∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，
∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=．
∵△DHE是等腰直角三角形，
∴DE=．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．
∴．
∴．
∴EC=．
∴CF=CE+EF=CE+DE=．
分析：（1）欲證PA•PB=PO•PE，而這四條線段根本構不成相似三角形，因此需要轉化，根據切割線定理，PD•PC=PA•PB，所以原題可轉化為證明PO•PE=PD•PC，即證△DPO∽△EPC，而這兩個三角形現在共用一個角P，且根據弧AD=弧AF=弧DF，可證∠AOD=∠DCF即∠POD=∠PCE，因此得出相似，從而找出比例線段，得到等積式；
（2）由圖可知，CF=CE+EF，而由垂徑定理可知DE=EF，所以只要求出DE和CE即可，欲求CE，可通過證明△DHO∽△DEC，運用比例線段進行求解，至于DE，則根據題中給出的已知條件可說明三角形DHE為等腰直角三角形，而DH和HE則可通過勾股定理求出，從而求出CF的值．
點評：此題考查比較全面，相似三角形的判定和判定、勾股定理、以及垂徑定理，難易程度適中．