Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為c（1，1）且過原點O，過拋物線上一點P（x，y）向直線作垂線，垂足為點M．
（1）求a、b、c值．
（2）在直線x=1上有一點F（1、），是否存在點P，使以PM為底邊的△PFM是等腰三角形？若存在，求點P的坐標，并證明此時△PFM為等邊三角形；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知條件可以得出，圖象過（0，0）點，可求出c的值，再根據頂點為c（1，1），得出=1，=1，即可求出a、b、c值；
（2）根據（1）中可知解析式為：y=-x²+2x，可設P（x，-x²+2x），表示出M，D的坐標，可得出x的值，進而可判斷出△PFM為等邊三角形．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為c（1，1）且過原點O，
∴=1，=1，且c=0，
解得：a=-1，b=2，c=0；

（2）存在P₁（1+，）P₂（1-，），
作FD⊥PM，
由（1）知y=-x²+2x可設P（x，-x²+2x），M（x，），D（x，）
依題意得：MD=PD，
∴-=-（-x²+2x），
X=1±，
∴p₁=（1+，），p₂（1-，），
∴Rt△FDM中，FD=，MD=，
∴tan∠FMD=，
∴∠FMD=60°，
又∵FM=FP，
∴△PFM是等邊三角形．
點評：此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式和等邊三角形的判定方法等知識，題目綜合性較強，依據題意表示出M，D的坐標，再得到MD=PD是解決問題的關鍵．