Question

如圖：四邊形ABCD中AB=DC，AD=BC，點E、F在線段BD上，且BE=DF

（1）求證：△ABD≌△CDB； 
（2）指出線段AE與CF的關系，并說明理由．
（3）若將題中的條件“點E、F在線段BD上”改為“點E、F在直線BD上”那么你在（2）中得出的結論還一定能成立嗎？若能，直接寫出結論；若不能，請畫出一個圖形作為反例說明．

Answer 1

（1）證明：在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）；

（2）解：AE=CF，AE∥CF．
理由：∵△ABD≌△CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AED=∠CFB，
∴AE∥CF；

（3）不一定成立．如圖：
分析：（1）由四邊形ABCD中AB=DC，AD=BC，可利用SSS，證得：△ABD≌△CDB；
（2）由△ABD≌△CDB，可得∠ABE=∠CDF，繼而利用SAS，證得△ABE≌△CDF，則可證得AE與CF平行且相等；
（3）不一定成立．點E在DB的延長線上，點F在BD上．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．