Question

（2003•西城區模擬）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，點P是AB延長線上一點，PC切⊙O于點C，在射線PA上截取PD=PC，連接CD，并延長交⊙O于點E．
（1）求證：∠ABE=∠BCE；
（2）當點P在AB的延長線上運動時，判斷sin∠BCE的值是否隨點P位置的變化而變化，提出你的猜想并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由等腰三角形的性質及三角形內角與外角的關系即可求出∠ABE=∠BCE；
（2）連接AE，由（1）的結論及圓周角定理可知∠BCE=∠A=45°，故sin∠BCE是定值，與P的位置無關．
解答：證明：（1）∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD．
∵PC切⊙O于點C，
∴∠PCB=∠E．
∵∠ABE=∠PDC-∠E，∠BCE=∠PCD-∠PCB，
∴∠ABE=∠BCE．

（2）猜想：sin∠BCE的值不隨點P位置的變化而變化，
證明：如圖，連接AE，
∵∠ABE=∠BCE，∠BCE=∠A，
∴∠ABE=∠A．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°．
∴∠BCE=∠A=45°．
∴sin∠BCE=sin45°=．
∴sin∠BCE的值不隨點P位置的變化而變化．
點評：此題考查的是圓周角定理及三角形內角與外角的關系，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出直角三角形解答．本題第（2）問的基本思路是：猜想sin∠BCE的值不變←∠BCE不變←∠ABE不變←證明∠ABE=45°，是考查圓的有關性質的一道探索性試題．