Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O順時針方向旋轉α度得到四邊形OA´B´C´，此時直線OA´、直線B´C´分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OABC的形狀是______，當α=90°時，的值是______．
（2）①如圖2，當四邊形OA´B´C´的頂點B´落在y軸正半軸時，則=______．
②如圖3，當四邊形OA´B´C´的頂點B´落在直線BC上時，則△OPB´的面積為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據有一個角是直角的平行四邊形進行判斷當α=90°時，就是長與寬的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根據勾股定理求得PB′的長，再根據三角形的面積公式進行計算．
解答：解：（1）四邊形OABC的形狀是矩形；根據題意即是矩形的長與寬的比，即 4：3．

（2）①∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴，即 ，
∴CP=，BP=BC-CP=．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴，即 ，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴==；
②在△OCP和△B′A′P中，，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．設B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，解得x=．
∴S_△OPB′=；
故填：矩形，，，．
點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等，即對應角相等，對應線段相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等腰直角三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．