Question

【題目】已知在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y，（0°＜x＜180°，0°＜y＜180°）．

（1）∠ABC+∠ADC=_____（用含x、y的代數式表示）；

（2）如圖1，若x=y=90°，DE平分∠ADC，BF平分與∠ABC相鄰的外角，請寫出DE與BF的位置關系，并說明理由．

（3）如圖2，∠DFB為四邊形ABCD的∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線構成的銳角，

①當x＜y時，若x+y=140°，∠DFB=30°試求x、y．

②小明在作圖時，發現∠DFB不一定存在，請直接指出x、y滿足什么條件時，∠DFB不存在．

Answer 1

【答案】（1）360°-x-y；（2）DE⊥BF，理由見解析；（3）①；②當x、y滿足x=y時，∠DFB不存在.

【解析】

（1）利用四邊形內角和定理得出答案即可；（2）利用角平分線的性質結合三角形外角的性質得出即可；（3）①利用角平分線的性質以及三角形內角和定理，得出∠DFB=y-x=30°，進而得出x，y的值；②當x=y時，∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，此時∠DFB不存在．

（1）∵四邊形內角和為（4-2）×180°=360°，

∴∠ABC+∠ADC=360°-x-y，

故答案為：360°-x-y

(2)DE⊥BF，理由如下：

如圖：延長DE交BF于G，

∵DE平分∠ADC，BF平分∠MBC，

∴∠CDE=∠ADC，∠CBF=∠CBM，

∵x=y=90°，

∴∠CBM=180°－∠ABC=180°－(180°－∠ADC)=∠ADC，

∴∠CDE=∠CBF，

∵∠BED=∠CDE+∠C=∠CBF+∠BGE，

∴∠BGE=∠C=90°，

∴DG⊥BF，即DE⊥BF

(3)①如圖，連接DB，

∵∠A+∠ADC+∠C+∠ABC=360°，∠CDN=180°-∠ADC，∠CBM=180°-∠ABC，

∴∠CDN+∠CBM=∠A+∠C=x+y，

∵BF、DF分別平分∠CBM、∠CDN，

∴∠CDF+∠CBF=(x+y)，

∴∠FBD+∠FDB=180°-y+(x+y)=180°-y+x，

∴∠DFB=180°-(∠FBD+∠FDB)=y-x=30°，

解方程組：，

解得：，

∴x=40°，y=100°.

②當x=y時，此時∠DFB=0，即∠ABC、∠ADC相鄰的外角平分線所在直線互相平行，故當x、y滿足x=y時，∠DFB不存在.