Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，BD為對角線．點P從點B出發，沿線段BA向點A運動，點Q從點D出發，沿線段DB向點B運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到A時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）是否存在某一時刻t，使得PQ∥AD？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

（2）設四邊形BPQC的面積為S，求S與t之間的函數關系式．

（3）是否存在某一時刻t，使得S四邊形BPQC：S矩形ABCD＝9：20？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

（4）是否存在某一時刻t，使得PQ⊥CQ？若存在，求出t的值；若不存在，則說明理由．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) S＝﹣t2+t+6 ;(3) 滿足條件的t的值為2;(4)

【解析】

（1）利用平行線分線段成比例定理構建方程即可解決問題．

（2）如圖1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F，利用平行線分線段成比例定理構建方程求出QE，QF即可解決問題；

（3）根據S四邊形BPQC：S矩形ABCD＝9：20，構建方程解決問題即可；

（4）如圖1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F．當PQ⊥QC時，△QEP∽△QFC，則，由此構建方程即可解決問題．

解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵AB＝4，AD＝BC＝3，

∴BD＝＝＝5，

由題意BP＝t，DQ＝t，

∵PQ∥AD，

∴＝，

∴＝，

∴t＝，

∴滿足條件的t的值為；

（2）如圖1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F．

∵QE∥AD，

∴＝，

∴＝，

∴QE＝（5﹣t），

∵QF∥CD，

∴＝，

∴＝，

∴QF＝（5﹣t），

∴S＝S△PBQ+S△BCQ＝PBQE+BCQF＝t（5﹣t）+×3×（5﹣t）＝﹣t2+t+6；

（3）由題意：（﹣t2+t+6）：12＝9：20，整理得：t2﹣t﹣2＝0，

解得t＝2或﹣1（舍棄），

∴滿足條件的t的值為2；

（4）如圖1中，作QE⊥AB于E，QF⊥BC于F．

當PQ⊥QC時，

∵∠EQF＝∠PQC＝90°，

∴∠EQP＝∠FQC，

又∵∠QEP＝∠QFC＝90°，

∴△QEP∽△QFC，

∴，

∴＝，

解得：t＝，

∴滿足條件的t的值為．