Question

如圖，點A（4，m）在一次函數y=2x-4和二次函數y=ax²的圖象上，過點A作直線y=n的垂線，垂足為E，點E關于直線y=2x-4的對稱點F在y軸上，點C是直線y=2x-4與y軸的交點．
（1）求二次函數解析式；
（2）求實數n的值；
（3）二次函數y=ax²的圖象上是否存在一點P，且滿足PA=PC？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根據點A（4，m）在一次函數y=2x-4和二次函數y=ax²的圖象上，代入首先求得m的值，進而確定A坐標的具體值，再代入確定a的值．此時二次函數解析式確定．
（2）過E作AC的垂線EF交y軸于點F．由（1）知A點的坐標為（4，4），則E點的坐標為（4，n），并設F點的坐標為（0，k）．根據EF垂直于AC寫出EF的斜率，再根據E、F點的坐標寫出直線EF關于n、k的表達式．根據AF=AE，根據坐標點A、E、F寫出關于n、k的表達式．聯立解得n的值．
（3）設存在P點的坐標為（t，

1

4

t2）．根據C是直線y=2x-4與y軸的交點確定出C點的坐標．利用PA=PC與兩點間的距離公式求出t的值，代入即可求出P點的具體值．

解答：解：（1）∵點A（4，m）在一次函數y=2x-4圖象上
∴m=2×4-4=4，即A點的坐標為（4，4）
∵點A（4，4）二次函數y=ax²的圖象上
∴4=a×4²，即a=

1

4

∴二次函數解析式是y=

1

4

x2

（2）由（1）知A點的坐標為（4，4），則E點的坐標為（4，n）
設F點的坐標為（0，k），由M點在直線AC上可知M（

n+4

2

，n），
則EM=4-

n+4

2

=

4-n

2

，AE=4-n，
∵直線EF⊥AC，∴△EFG∽△AME，
∴

FG

ME

=

EG

AE

，即

FG

4-n 2

=

4

4-n

，解得FG=2，
由AF=AE，得

(4-n-2)2+42

=4-n，解得n=-1；

（3）設存在P點的坐標為（t，

1

4

t2）
∵點C是直線y=2x-4與y軸的交點
∴點C的坐標為（0，-4）
∵PA=PC
∴

(t-4)2+( 1 4 t2-4)2

=

(t-0)2+( 1 4 t2+4)2

?t²+2t-4=0，解得t=-1+

5

或t=-1-

5

則P點的坐標為（-1+

5

，

3- 5

2

）或（-1-

5

，

3+ 5

2

）
答：y=

1

4

x²；n=-1；P（-1+

5

，

3- 5

2

）或（-1-

5

，

3+ 5

2

）

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、一次函數圖象交點的求法、兩點間的距離公式等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法．