Question

已知菱形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，AC=2a，BD=2b，AB=c
（1）菱形的對角線AC和BD具有怎樣的位置關系？
（2）若沿兩條對角線把菱形剪開，分成四個三角形，利用這四個三角形可拼成一個可以證明勾股定理的圖形．請你畫出示意圖，并證明勾股定理．
（3）若a=4，b=3，求
①菱形的邊長和菱形的面積．（直接寫出結論）
②求菱形的高．（直接寫出結論）

Answer 1

分析：（1）根據菱形的對角線AC和BD互相垂直平分即可直接得出答案．
（2）由2中拼法，拼法一由大正方形的面積得；拼法二由小正方形的面積得，然后化簡即可．
（3）①由上面的結論得菱形的邊長，然后即可求出面積，②根據平行四邊形的面積公式可得菱形的高．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴對角線AC和BD互相垂直平分．
（2）拼法一：如圖，
由大正方形的面積得(a+b)2=c2+4×

1

2

ab．
化簡得a²+b²=c²

（2）拼法二：如圖，
由小正方形的面積得(a-b)2=c2-4×

1

2

ab
化簡得a²+b²=c²

（3）①由上面的結論得
菱形的邊長c=

a2+b2

=

32+42

=5，
菱形的面積=2ab=2×3×4=24，
②根據平行四邊形的面積公式可得
菱形的高=

24

5

點評：此題主要考查學生對菱形的性質和勾股定理的證明等知識點的理解和掌握．此題中的第（2）問有一定的拔高難度，要求學生具備一定的空間想象能力，因此屬于難題．