Question

【題目】定義：對于依次排列的多項式x+a，x+b，x+c，x+d(a，b，c，d是常數)，當它們滿足在，且M為常數時，則稱a，b，c，d是一組平衡數，M是該組平衡數的平衡因子，例如：對于多項式x+2，x+1，x+6，x+5，因為，所以2，1，6，5是一組平衡數，4是該組平衡數的平衡因子.

(1)已知2，4，7，9是一組平衡數，求該組平衡數的平衡因子M；

(2)若a，b，c，d是一組平衡數，a=-4，d=3，請直接寫出組b，c的值；

(3)當a，b，c，d之間滿是什么數量關系時，它們是一組平衡數，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）M=10;（2）b= -3,c=2;(3)見解析.

【解析】

觀察多項式，它們的二次項在合并同類項時必然抵消，那么要使它們的差為常數，一次項也必須要互相抵消，它們在展開時，一次項依次為（a+d）x和（b+c）x，常數項依次為ad和bc，據此在組成數時a+d= b+c，M=ad-bc.

（1）(x+4)( x +7)-( x +2)( x +9)=( x 2+11 x +28)-( x 2+11 x +18)=10.

所以M=10;

（2）易得a+d= b+c，所以列出符合條件的一組即可，如：b= -3,c=2;

(3)當 a+d=b+c時，他們是一組平衡數，因為多項式(x+a)(x+d)相乘時，一次項為

（a+d）x，同理（x+b）（x+c）的一次項為（b+c）x，結果為常數，所以它們的一次項要互相抵消，所以a+d=b+c.