Question

已知二次函數y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點，AB=2．若關于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實數），在-2＜x＜

7

2

的范圍內有實數解，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：利用二次函數y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點，AB=2，可求b的值，再利用拋物線的對稱性可求A、B兩點的坐標，從而可求c，那么關于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實數）可化為x²-2x-t=0，利用公式法求出x，結合-2＜x＜

7

2

的范圍內有實數解，可求出相應的x的取值范圍．

解答：解：∵二次函數y=x²+bx+c的對稱軸為直線x=1，
∴-

b

2

=1，
解得：b=-2，
∵對稱軸為直線x=1，且圖象與x軸交于A、B兩點，AB=2，
∴直線與x軸交于（2，0），（0，0），
∴當x=0時，0+0+c=0，
∴c=0，
∴關于x的一元二次方程x²+bx+c-t=0（t為實數）為x²-2x-t=0，
∴△=b²-4ac=4+4t≥0，
解得t≥-1，
又∵x=

2± 4+4t

2×1

，
∴x=1±

1+t

，
∵在-2＜x＜

7

2

的范圍內有實數解，
∴1-

1+t

＞-2，

1+t

＜3，
∴t＜8
1+

1+t

＜

7

2

，

1+t

＜

5

2

，
∴t＜

21

4

∴-1≤t＜

21

4

．
故答案為：-1≤t＜

21

4

．

點評：本題考查了二次函數的圖象與橫軸的交點問題、以及拋物線的對稱問題．解決本題的關鍵是正確的理解并應用拋物線與橫軸的交點橫坐標就是方程的解．