Question

如圖①所示，將一個(gè)正三角形紙片沿著它的一條邊上的高剪開(kāi)，得到如圖②所示的兩個(gè)全等的Rt△ABC、Rt△DEF．

(1)根據(jù)正三角形的性質(zhì)可知：在圖②中，∠ABC＝∠DEF＝30°，AB＝DE＝2AC＝2DF．由此請(qǐng)你歸納一下在含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊與斜邊之間的關(guān)系：

在含30°角的直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊________；

(2)將這兩個(gè)直角三角形紙片按如圖③放置，使點(diǎn)B、D重合，點(diǎn)F在BC上．固定紙片DEF，將△ABC繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α(0°＜α＜90°)，使四邊形ACDE為以ED為底的梯形(如圖④所示)，求此時(shí)α的值；

(3)猜想圖④中AE與CD之間的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)等于斜邊的一半．　3分 　　(2)α＝30°．　6分 　　(3)法一：在圖④中，設(shè)DE交BC于點(diǎn)I，作AH垂直于ED設(shè)FD＝2x，則由(1)得ED＝4x，BD＝x，又因?yàn)?I>AC＝FD＝2x，所以HI＝2x，則EH＝4x－2x－x＝x，因?yàn)?I>AC∥DE，所以AH＝CI，易得ΔAHE≌ΔCID，所以AE＝CD　12分 　　法二：如圖⑤所示，取DE的中點(diǎn)G，連接CG、AG． 　　則不難得到AG＝CD，CG＝AE，設(shè)DE交BC于點(diǎn)I． 　　又CB⊥DG，DG＝DF＝2BI，故I為DG中點(diǎn)． 　　由垂直平分線的性質(zhì)知：CD＝CG＝AE　12分