Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．動點P從點A出發沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發沿BA向點A運動，到達A點時停止運動．點P也同時停止．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，連接PQ，設運動時間為t(t＞0)秒．

(1)當點Q從B點向A點運動時(未到達A點)，

①當t＝_____時PQ∥BC

②求△APQ的面積S關于t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

(2)伴隨著P，Q兩點的運動，線段PQ的垂直平分線為l：

①當l經過點A時，射線QP交AD于點E，求此時的t的值和AE的長；

②當l經過點B時，求t的值．

Answer 1

【答案】(1)①秒；②S△APQ＝﹣+t(0＜t≤6)；(2)①t＝3，AE＝6；②t＝5．

【解析】

(1)①因為PQ∥BC，利用平行線分線段成比例，可得，找到關于t的方程，求解即可；②過P作PE⊥AB于E，利用∠BAC的正弦，可以求出PE的長，最后找到S與t的函數關系式；

(2)①因為l為PQ的垂直平分線且過點A，所以AP=AQ，由此可以求出t的值，延長QP交CD于M，容易得到△APQ和△CPM相似，找到相似比可求出AE的長；②當l經過B時，可得BQ=BP=AP，過P作PG⊥AB于G，利用三線合一可得AG=BG，利用PG∥BC，可轉化出P也為AC的中點，進而可求出AP的值，最后可找到t的值.

解：(1)①由題意得：BQ＝AP＝t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，

∵AB＝6，BC＝8，

∴AC＝10，AQ＝6﹣t，

∵PQ∥BC，

∴，

∴，

t＝，

則當t＝秒時，PQ∥BC，

故答案為：秒；

②如圖1，過P作PE⊥AB于E，

sin∠BAC＝，

∴，PE＝t，

∴S△APQ＝AQPE＝(6﹣t) t＝﹣+t(0＜t≤6)；

(2)①如圖2，延長CD交QP于M，

∵線段PQ的垂直平分線為l經過點A，

∴AQ＝AP，即6﹣t＝t，

∴t＝3，

∴AQ＝AP＝3，CP＝10﹣3＝7，

∵AQ∥CD，

∴△AQP∽△CMP，

∴，

∴ ，CM＝7，

∴DM＝7﹣6＝1，

∵AQ∥DM，

∴△AQE∽△DME，

∴＝，

∵AE+DE＝8，

∴AE＝6；

②如圖3，連接PB，過P作PG⊥AB于G，則PG∥BC，

∵線段PQ的垂直平分線l經過點B，

∴PB＝BQ＝t＝AP，

∴AG＝BG，

∴AP＝PC＝AC＝5，

∴t＝5．