Question

如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（-8，0），直線BC經過點B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點O按順時針方向旋轉α度得到四邊形OA′B′C′，此時直線OA′、B′C′分別與直線BC相交于P、Q．
（1）四邊形OA′B′C′的形狀是

 

，當α=90°時，

BP

PQ

的值是

 

；
（2）①如圖2，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在y軸正半軸上時，求

BP

PQ

的值；
②如圖3，當四邊形OA′B′C′的頂點B′落在直線BC上時，求△OPB′的面積；
（3）在四邊形OABC旋轉過程中，當0°＜α≤180°時，是否存在這樣的點P和點Q，使BP=

1

2

BQ？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據有一個角是直角的平行四邊形進行判斷當α=90°時，就是長與寬的比；
（2）①利用相似三角形求得CP的比，就可求得BP，PQ的值；
②根據勾股定理求得PB′的長，再根據三角形的面積公式進行計算．
（3）構造全等三角形和直角三角形，運用勾股定理求得PC的長，進一步求得坐標．

解答：解：（1）圖1，四邊形OA′B′C′的形狀是矩形；根據題意即是矩形的長與寬的比，即

4

3

．

（2）①圖2∵∠POC=∠B′OA′，∠PCO=∠OA′B′=90°，
∴△COP∽△A′OB′．
∴

CP

A′B′

=

OC

OA′

，即

CP

6

=

6

8

，
∴CP=

9

2

，BP=BC-CP=

7

2

．
同理△B′CQ∽△B′C′O，
∴

CQ

C′O

=

B′C

B′C′

，即

CQ

6

=

10-6

8

，
∴CQ=3，BQ=BC+CQ=11．
∴

BP

PQ

=

7 2

9 2 +3

=

7

15

；
②圖3，在△OCP和△B′A′P中，

∠OPC=∠B′PA′ ∠OCP=∠A′=90° OC=B′A′

，
∴△OCP≌△B′A′P（AAS）．
∴OP=B′P．設B′P=x，
在Rt△OCP中，（8-x）²+6²=x²，
解得x=

25

4

．
∴S_△OPB′=

1

2

×

25

4

×6=

75

4

．

（3）存在這樣的點P和點Q，使BP=

1

2

BQ．
點P的坐標是P₁（-9-

3

2

6

，6），P₂（-

7

4

，6）．
【對于第（3）題，我們提供如下詳細解答，對學生無此要求】
過點Q畫QH⊥OA′于H，連接OQ，則QH=OC′=OC，
∵S_△POQ=

1

2

PQ•OC，S_△POQ=

1

2

OP•QH，∴PQ=OP．
設BP=x，∵BP=

1

2

BQ，∴BQ=2x，
如圖4，當點P在點B左側時，
OP=PQ=BQ+BP=3x，
在Rt△PCO中，（8+x）²+6²=（3x）²，
解得x1=1+

3

2

6

，x2=1-

3

2

6

（不符實際，舍去）．
∴PC=BC+BP=9+

3

2

6

，
∴P₁（-9-

3

2

6

，6）．
如圖5，當點P在點B右側時，
∴OP=PQ=BQ-BP=x，PC=8-x．
在Rt△PCO中，（8-x）²+6²=x²，解得x=

25

4

．
∴PC=BC-BP=8-

25

4

=

7

4

，
∴P₂（-

7

4

，6），
綜上可知，存在點P₁（-9-

3

2

6

，6），P₂（-

7

4

，6），使BP=

1

2

BQ．

點評：特別注意在旋轉的過程中的對應線段相等，能夠用一個未知數表示同一個直角三角形的未知邊，根據勾股定理列方程求解．