Question

所謂配方法其實就是逆用完全平方公式，即a²±2ab+b²=（a±b）²．該方法在數、式、方程等多方面應用非常廣泛，如3+2=12+2+（）²；x²+2x+5=x²+2x+1+4=（x+1）²+4等等．請你用配方法解決以下問題：
（1）解方程：x²=5+2；（不能出現形如的雙重二次根式）
（2）若a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，解關于x的一元二次方程ax²-bx+c=0；
（3）求證：不論m為何值，解關于x的一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0總有兩個不等實數根．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把5+2變形為（）²，即可求出x的值；
（2）根據a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，得出（a-1）²+（2b-2）²+（c+5）²=0，即可求出a=1，b=1，c=-5，再代入ax²-bx+c=0即可求出答案；
（3）根據△=（m-1）²-4（m-3）=m²-6m+13=（m-3）²+4＞0，即可得出一元二次方程x²+（m-1）x+m-3=0總有兩個不等實數根．
解答：解：（1）x²=5+2，
x²=（）²，
x=±（）；

（2）a²+4b²+c²-2a-8b+10c+30=0，
（a-1）²+（2b-2）²+（c+5）²=0，
從而有a-1=0，2b-2=0，c+5=0，
即a=1，b=1，c=-5，
∵ax²-bx+c=0，
∴x²-x-5=0
∴x=；

（3）∵△=（m-1）²-4（m-3）=m²-6m+13=（m-3）²+4＞0，
∴x²+（m-1）x+m-3=0總有兩個不等實數根．
點評：本題考查了配方法的應用；解題的關鍵是根據完全平方公式：a²±2ab+b²=（a±b）²進行配方．