Question

已知MN∥EF∥BC，點A、D為直線MN上的兩動點，AD=a，BC=b．
（1）當點A、D重合，即a=0時（如圖1），試求EF．（用含m，n，b的代數式表示）
（2）請直接應用（1）的結論解決下面問題：當A、D不重合，即a≠0，
①如圖2這種情況時，試求EF．（用含a，b，m，n的代數式表示）
②如圖3這種情況時，試猜想EF與a、b之間有何種數量關系？并證明你的猜想．

Answer 1

解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
又BC=b，
∴，
∴EF=；

（2）①解：如圖2，連接BD，與EF交于點H，
由（1）知，HF=，EH=，
∵EF=EH+HF，
∴EF=；

②猜想：EF=，
證明：連接DE，并延長DE交BC于G，
由已知得：BG=，
EF=，
∵GC=BC-BG，
∴EF=（BC-BG）=．
分析：（1）由EF∥BC，即可證得△AEF∽△ABC，根據相似三角形的對應邊成比例，即可證得，根據比例變形，即可求得EF的值；
（2）①連接BD，與EF交于點H，由（1）知，HF=，EH=，又由EF=EH+HF，即可求得EF的值；
②連接DE，并延長DE交BC于G，根據平行線分線段成比例定理，即可求得BG的長，又由EF=與GC=BC-BG，即可求得EF的值．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，平行線分線段成比例定理等知識．此題難度適中，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用，注意比例變形．