Question

若一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有兩個實數根x₁，x₂．
（1）利用配方法求出求根公式；
（2）用求根公式求證：；
（3）設方程有兩個實數根x₁，x₂，利用（2）的結論，不解方程求：①x₁²+x₂²；②．

Answer 1

解：（1）ax²+bx+c=0（a≠0）
∵a≠0，∴兩邊同時除以a得：
二次項系數化為“1”得：x²+x+=0
移項得：x²+x=-
配方得：x²+2•x•+=-
=
∵a≠0，∴4a²＞0
當b²-4ac≥0時，直接開平方得：
x+=
∴x=，
∴x₁=，x₂=；

（2）對于方程：ax²+bx+c=0（a≠0，且a，b，c是常數），
當△≥0時，利用求根公式，得
x₁=，x₂=-．
∵x₁+x₂=+-=-，
x₁x₂=（ ）•（ -）=（ ）²-（ ）²=．
∴x₁+x₂=-，x₁x₂=是正確的；

（3）方程中，
∵a=，b=-7，c=3，
∴b²-4ac=49-6=43＞0，
則x₁+x₂=-=-=14，x₁x₂===6，
①x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=14²-2×6=196-12=184；
②====．
分析：（1）由a不為0，在方程兩邊同時除以a，把二次項系數化為1，然后把常數項移項到方程右邊，兩邊都加上一次項系數一半的平方即，左邊變為完全平方式，右邊大于等于0時，開方即可得到求根公式；
（2）由求根公式求出的兩個根相加、相乘，化簡后即可得證；
（3）找出原方程的a，b及c的值，計算出b²-4ac，其值大于0，故方程有兩個不等的實數根，根據（2）的結論求出兩根之和與兩根之積，
①把原式配方后變為關于兩個根相加及相乘的形式，把求出的兩個之和與兩根之積代入即可求出值；
②把原式通分后分子利用①求出的結果整體代入，分母變為兩根之積的平方，將兩根之積代入，即可求出值．
點評：此題考查了利用配方法推導求根公式，由求根公式推導根與系數的關系，以及根與系數關系的運用，其中利用配方法推導求根公式是一個難點，要求學生必須掌握推導過程每一步的依據，即要搞清為什么，根與系數關系應用的前提必須是一元二次方程有解，即b²-4ac≥0，在運用根與系數關系時，往往利用配方，提取公因式，通分等方法把所求的式子化為與兩根之和及兩根之積有關的式子，然后把求出的兩根之和與兩根之積整體代入即可求出值．