Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的長。小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題.請按照小萍的思路，探究并解答下列問題：

（1）AB、AC為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點為E、F，延長EB、FC相交于G點，證明四邊形AEGF是正方形；

（2)設AD=x，利用勾股定理，建立關于x的方程模型，求出x的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）四邊形AEGF是正方形; （2）x=12．

【解析】

試題分析：（1）先根據△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；

（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x﹣4）²+（x﹣6）²=10²，求出AD=x=12．

試題解析：（1）證明：由題意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．

∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，

∴∠EAF=90°．

又∵AD⊥BC

∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．

∴四邊形AEGF是矩形，

又∵AE=AD，AF=AD

∴AE=AF．

∴矩形AEGF是正方形．

（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x．

∵BD=4，DC=6

∴BE=4，CF=6

∴BG=x﹣4，CG=x﹣6

在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，

∴（x﹣4）²+（x﹣6）²=10²．

化簡得，x²﹣10x﹣24=0

解得x₁=12，x₂=﹣2（舍去）

所以AD=x=12．

考點:折疊問題；全等三角形的判定與性質；勾股定理.