Question

如圖，矩形ABCD中，過點B作AC的垂線交線段AD于E，垂足為F．若△CDF為等腰三角形，則=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據△CDF為等腰三角形，可以分三種情況進行討論：①FC=FD，②DF=DC，③CF=CD；
①當點E與點D重合時，即四邊形為正方形時，很容易得出結論；
②當DF=CD，作DM⊥CF于M點，利用已知條件求證△ABF≌△CDM，然后即可得出；
③根據△ABF∽△BCF，利用其對應邊成比例得CD²=AD•AE，再利用（AAS）求證△BFC≌△ABE可得AE=BF，然后利用勾股定理解得關于AD的方程即可．
解答：解：①當FC=FD，點E與點D重合時，即四邊形為正方形，則=1；

②當DF=CD，作DM⊥CF于M點，

∵DF=CD，
∴FM=CM，
∵∠DCM=BAF，CD=AB，
∴△ABF≌△CDM，
∴AF=CM，
∴===；
③當FC=DC，∵四邊形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△ABF∽△BCF，
∴=，=，
則CD²=AD•AE，
∵FC=DC，四邊形ABCD是矩形，BF⊥AC，
∴△BFC≌△ABE，（AAS）
∴AE=BF，
在Rt△ABE中，AE²=BE²-AB²=AD²-CD²，
∴AE==，
∴AE²=AD²-AD•AE，
AD²-AD•AE-AE²=0，
解得AD=AE，AD=AE（不合題意舍去），
∴==．
故答案為：1；；．
點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，矩形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理等知識點，此題要采用分類討論的思想，是一道難題．