Question

【題目】如圖所示：一副三角板如圖放置，等腰直角三角板ABC固定不動，另一塊三角板的直角頂點放在等腰直角三角形的斜邊中點D處，且可以繞點D旋轉，在旋轉過程中，兩直角邊的交點G、H始終在邊AB、BC上．

在旋轉過程中線段BG和CH大小有何關系？證明你的結論．

若，在旋轉過程中四邊形GBHD的面積是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的取值范圍．

若交點G、H分別在邊AB、BC的延長線上，則中的結論仍然成立嗎？請畫出相應的圖形，直接寫出結論．

Answer 1

【答案】 BG=CH，證明見解析；在旋轉過程中四邊形GBHD的面積不變，； 見解析.

【解析】

連接BD，根據等腰直角三角形的性質，得，，，，由，，推出后，結合，即可推出≌，根據全等三角形的性質可得；

首先根據題意求出，然后通過求證≌，由的結論，即可推出，再根據，，推出，即得，，便可確定在旋轉過程中四邊形GBHD的面積不變；

連接BD后，首先通過余角的性質推出，再根據，推出，即可推出和，便可得．

和CH為相等關系，

如圖1，連接BD，

等腰直角三角形ABC，D為AC的中點，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

，

等腰直角三角形ABC，D為AC的中點，

，，，

，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

，

，

在旋轉過程中四邊形GBHD的面積不變，

當三角板DEF旋轉至圖2所示時，的結論仍然成立，

如圖2，連接BD，

，，，

，，

，

等腰直角三角形ABC，

，

，

在和中，

，

≌，

．