Question

如圖，已知直線y=-

1

2

x+1交坐標軸于A，B兩點，以線段AB為邊向上作正方形ABCD，過點A，D，C的拋物線與直線的另一個交點為E．
（1）直接寫出點C和點D的坐標，C（

 

）；D（

 

）；
（2）求出過A，D，C三點的拋物線的解析式及對稱軸；
（3）探索：過點E作平行于y軸的直線上是否存在點P，使△PBC為直角三角形？若存在，請求出P點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先將A和點B的坐標得出和AB的長度，并分別得出直線AD和BC所在的直線方程，利用正方形的性質即可分別得出C和點D的坐標；
（2）令x=0，即可得出y的值，從而可得出A的坐標，結合（1），可知C和D點的坐標，設出拋物線的解析式，將三個點的坐標分別代入即可得出拋物線的方程；同時即可得出拋物線的對稱軸；
（3）若使△PBC為直角三角形，需分三種情況來討論，①當∠CBP=90°時；②當∠BCP=90°時；③當∠CPB=90°時；分別討論著三種情況，即可得出①和②兩種情況有，存在點P，分別為（4，-1）和（4，

3

2

），③不存在；

解答：解：（1）C（3，2），D（1，3）

（2）把x=0代入y=-

1

2

x+1得，y=1
∴A點坐標為（0，1）
設二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0）．
把點A（0，1），C（3，2），D（1，3）代入得

c=1 9a+3b+c=2 a+b+c=3

，（2分）
解，得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

∴二次函數的解析式為y=-

5

6

x2+

17

6

x+1．
對稱軸為：直線x=

17

10

（3）①當∠CBP=90°時，P（4，-1）
②當∠BCP=90°時P（4，

3

2

）
③當∠CPB=90°時，以BC為直徑的圓與直線x=4相離，
即直線與圓無交點，則不存在．（或用勾股定理來算無解）．

點評：此題考查了拋物線和一次函數解析式的確定、三角形的有關知識等重要知識點，本題難度不大，在分類討論的時候，要考慮問題要全面，做到不重不漏．