Question

已知拋物線y=x²+ｐx+ｑ與x軸交于不同兩點A（x₁，0），B（x₂，0），（B在A的右邊）交y軸于點C，且滿足，
（1）求證：4ｐ+5ｑ=0；
（2）問是否存在一個圓O′，經過A、B兩點，且與y軸相切于C點，若存在試確定此時拋物線的解析式及圓心Ｏ′的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵x₁+x₂=-2p，x₁x₂=2ｑ
  而，即，，
  ∴4p+5ｑ=0
（2）若存在⊙O′過A、B兩點，且與y軸切于C點，
    則A、B必在原點的同側，x₁x₂＞0．
    又OC²=OA·OB，∴ｑ²=2ｑ，
   ∴ｑ=0，ｑ=2，但ｑ=0不合題意，舍去．
  ∴ｑ=2，則p=-
   ∴拋物線的解析式為y=+2，O′的坐標為 (，2)