Question

如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的面積為15，邊OA比OC大2．E為BC的中點，以OE為直徑的交x軸于D點，過點D作DF⊥AE于點F．

(1)求OA、OC的長；

(2)求證：DF為的切線；

(3)小明在解答本題時，發現△AOE是等腰三角形．由此，他斷定：“直線BC上一定存在除點E以外的點P，使△AOP也是等腰三角形，且點P一定在外”．你同意他的看法嗎？請充分說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)在矩形OABC中，設OC＝x，則OA＝x＋2，依題意得 　　x(x＋2)＝15　　解得x1＝3，x2＝－5 　　x2＝－5(不合題意，舍去)　　所以OC＝3，OA＝5 　　(2)如圖，連結 　　在矩形OABC中，OC＝AB，∠OCB＝∠ABC＝，CE＝BE＝ 　　所以△OCE≌△ABE 　　所以EA＝EO　　所以∠1＝∠2 　　在中，因為＝　　所以∠1＝∠3 　　所以∠3＝∠2　　所以∥AE， 　　因為DF⊥AE　　所以DF⊥ 　　又因為點D在上，為的半徑，所以DF為切線． 　　(3)不同意．理由如下： 　　①當AO＝AP時，以點A為圓心，以AO為半徑畫弧交BC于P1和P4兩點，過P1點作P1H⊥OA于點H，P1H＝OC＝3，因為AP1＝OA＝5 　　所以AH＝4，所以OH＝1 　　求得點P1(1，3)　　同理可得P4(9，3) 　　②當OA＝OP時，同上可求得P2(4，3)，P3(－4，3) 　　因此，在直線BC上，除了E點外，既存在內的點P1，又存在外的點P2、P3、P4，它們分別使△AOP為等腰三角形．