Question

如圖，已知：A（m，2）是一次函數y=kx+b與反比例函數y=

3

x

的交點
（1）求m的值；
（2）若該一次函數分別與x軸y軸交于E、F兩點，且直角△EOF的外心為點A．試求它的解析式；
（3）在y=

3

x

的圖象上另取一點B，作BK⊥x軸于K，將（2）中的一次函數圖象繞點A旋轉后所得的直線記為l，若l與y軸的正半軸交于點C，且4CO=FO．試問：在y軸上是否存在點P，使得兩個三角形的面積S_△PCA=S_△BOK？若存在，求點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據反比例函數的解析式求得m的值；
（2）根據直角三角形的外心是直角三角形的斜邊的中點，由點A的坐標根據三角形的中位線定理可以求得點E，F的坐標，從而求得直線的解析式；
（3）根據反比例函數的解析式，得△BOK的面積是

3

2

．再根據點A的橫坐標，知PC的長應是2．根據題意可以首先求得點C的坐標，再根據點P可能在點C的上方或下方進行分析．

解答：解：（1）把點A（m，2）代入反比例函數y=

3

x

中，得m=

3

2

（2分）

（2）根據直角三角形的外心是直角三角形的斜邊的中點，則點A是EF的中點．又A（

3

2

，2），
∴E（3，0），F（0，4）
把E，F代入，得

3k+b=0 b=4

．解得

k=- 4 3 b=4

∴y=-

4

3

x+4（3分）

（3）原直線繞點A旋轉所得直線交y軸的正半軸于C，且OC=

1

4

OF，F(0，4)
得C（0，1）
∵B（x_B，y_B）在y=

3

x

上，則有x_B•y_B=3，
由題意有S△BOK=

1

2

|xB•yB|=

3

2

（4分）
設y軸上點P（0，y_P），滿足S_△PCA=S_△BOK
①若點P在點C上方，即y＞1，有S△PCA=

1

2

|yP-1|•|xA|=

1

2

(y-1)•

3

2

=

3

2

∴y=3，此時P（0，3）（3分）；
②若點P在點C下方，即y＜1，有S△PCA=

1

2

|yP-1|•|xA|=

1

2

(1-y)•

3

2

=

3

2

∴y=-1，此時P（0，-1）（2分）．

點評：能夠根據函數的解析式求得點的坐標，能夠根據點的坐標求得函數的解析式；掌握直角三角形的外心的位置；平行于x軸的線段的長等于兩個點的橫坐標的差的絕對值，平行于y軸的線段的長度等于兩個點的縱坐標的差的絕對值．